ढ़ाल (Slope)

ढाल: $m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}=\tan(\theta )$

ढाल (अंग्रेजी: Slope) गणित आ ज्यामिति के एगो बुनियादी अवधारणा हवे, जेकर उपयोग रेखा (line) के चढ़ाई या ढलान के माप करे में होला। सरल शब्द में कहल जाव त ढाल बतावेला कि कउनो रेखा केतना तेजी से ऊपर चढ़त बा या नीचे झुकत बा। एकर उपयोग बीजगणित, त्रिकोणमिति, भौतिकी, आ इंजीनियरिंग में खूब होला। ढाल के सामान्य रूप से "m" अक्षर से निरूपित कइल जाला। एकर गणना रेखा पर चुनल गइल दू गो अलग-अलग बिंदु सभ के ऊर्ध्वाधर परिवर्तन (rise) आ क्षैतिज परिवर्तन (run) के अनुपात के रूप में कइल जाला। बिंदु सभ के चुनाव स्वतंत्र होला, लेकिन कौनों भी वैध जोड़ी से ढ़ाल के मान एकही रही।

परिभाषा

y = (3/2)x − 1 ढाल के देखावे खातिर चित्र देखावल गइल बा। बड़ा रूप में देखे खातिर चित्र पर क्लिक करीं।

निर्देशांक प्रणाली में रेखा के ढलान, f(x) = −12x + 2 से f(x) = 12x + 2 तक

रेखा के ढाल के परिभाषा निम्नलिखित सूत्र से होला :

$m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {{\text{vertical}}\,{\text{change}}}{{\text{horizontal}}\,{\text{change}}}}={\frac {\text{rise}}{\text{run}}}.$

अगर दू गो बिंदु दिहल गइल बा: $(x_{1},y_{1})$ आ $(x_{2},y_{2})$, त $x$ में बदलाव होई $x_{2}-x_{1}$ ( रन ), जबकि $y$ में बदलाव होई $y_{2}-y_{1}$ ( राइज़ )। एह दुनों मान के ऊपर बतावल सूत्र में रखला पर slope के निम्नलिखित रूप मिलेला :

$m={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}.$

उदाहरण

मान लीं कि कवनो रेखा दू गो बिंदु से होके गुजरत बा: बिंदु P = (1,2) आ Q = (13,8)। एह दू गो बिंदु के x आ y निर्देशांकों में अंतर निकाल के, अर्थात् y में अंतर के x में अंतर से भाग देके रेखा के ढाल (slope) प्राप्त कइल जा सकेला:

$m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}={\frac {(8-2)}{(13-1)}}={\frac {6}{12}}={\frac {1}{2}}.$

ढ़ाल के प्रकार

ढाल के चार मुख्य प्रकार हो सकेला :

1. धनात्मक ढ़ाल (Positive Slope): रेखा ऊपर की ओर चढ़त बा।
2. ऋणात्मक ढ़ाल (Negative Slope): रेखा नीचे की ओर झुकत बा।
3. शून्य ढ़ाल (Zero Slope): रेखा समतल बा; y में कौनों बदलाव नइखे।
4. अनिर्धारित ढ़ाल (Undefined Slope): जब x में कौनों बदलाव नइखे; रेखा खड़ा बा (vertical line)।

ज्यामितीय अर्थ

ढाल के ज्यामितीय मतलब रेखा के कोण से होला, जे ऊ x-अक्ष (x-axis) से बनावेला। अगर रेखा x-अक्ष से 45° के कोण बनावेला, त एकर ढाल 1 होला।

$m=tan\theta$

जहाँ θ बा रेखा आ x-अक्ष के बीच के कोण।

उपयोग

• बीजगणित में: रेखीय समीकरण के ढाल-संधि रूप (slope-intercept form) में देखावल जाला: y=mx+c जहाँ m बा ढ़ाल आ c बा y-अक्ष पर कट बिंदु।
• भौतिकी में: गति (velocity) के ग्राफ में ढ़ाल से रफ्तार के जानकारी मिले ला।
• वास्तुकला आ इंजीनियरिंग में: सड़क, छत, या पाइपलाइन बनावत समय ढाल के विचार कइल जाला।

• अर्थशास्त्र में: मांग (demand) आ आपूर्ति (supply) के ग्राफ में ढ़ाल से प्रतिक्रिया दर (rate of change) मालूम होला।